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Aufgaben

4.1 Autofahrt

Ein PKW fährt `100km` weit mit `80km//h` und weitere `100km` mit `60km//h`.

Berechnen Sie die
mittlere GeschwindigkeitDie Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges mit der Zeit: `v(t) = (ds(t))/(dt)`. Die mittlere Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke dividiert durch die dazu erforderliche Zeit: `overline v = (Delta s)/(Delta t)=(s_1 + s_2 + ...)/(t_1 + t_2 + ...)`
des PKW auf der Gesamtstrecke.

Wie lang ist er insgesamt unterwegs?

Wie schnell muss ein zweiter PKW fahren, der gemeinsam mit dem ersten PKW startet, die Gesamtstrecke aber mit konstanter Geschwindigkeit zurücklegt, damit er gleichzeitig mit dem ersten PKW ankommt?

TippZerlegen Sie die Fahrt in zwei Phasen mit jeweils konstanter Geschwindigkeit.

Die mittlere Geschwindigkeit ist nicht `70km//h`!

Das Auto fährt zwar gleich weit mit `80km//h` und mit `60km//h`, aber nicht gleich lange. Mit `80km//h` schafft es die ersten `100km` in geringerer Zeit als die nächsten `100km`, der Fahrer kann die höhere Geschwindigkeit also nicht so lange ausnutzen, wie er die geringere ertragen muss.

zur Lösung

Ergebnis Die mittlere Geschwindigkeit, das ist auch die Geschwindigkeit des zweiten PKW, beträgt `68,56 (km)/h`. Die gesamt Fahrt dauert etwa `175min`.

4.2 Autofahrt 2

Ein PKW fährt eine Stunde lang mit `80km//h` und dann eine Stunde lang mit `60km//h`.

Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für die Gesamtstrecke.

zur Lösung

Ergebnis Die mittlere Geschwindigkeit beträgt `70(km)/h`.

4.3 Verkehrsunfall

Haben Sie eine Vorstellung davon, was passiert, wenn Sie mit Ihrem Auto im Stadtverkehr gegen einen Brückenpfeiler fahren?

Rechnen Sie aus, aus welcher Höhe ein Auto
fallenDies ist ein 'freier Fall'. Berechnen Sie zunächst die Fallzeit.
muss, um mit `50km//h` auf den Erdboden aufzuprallen.

`->`Freier Fall im Atlas

zur Lösung

Ergebnis Der Crash entspricht einem freien Fall aus `9,83m`.

4.4 Odenwaldclub

Zwei Gruppen des Odenwaldclubs wollen von Alsbach aus zum Melibokus wandern (das sind etwa `9km` Wegstrecke).

Welchen
ZeitvorsprungWelche Zeit benötigt jede Gruppe? Zeichnen Sie ein Weg-Zeit-Diagramm.

Das Weg-Zeit-Diagramm ist der Graph der Funktion `s(t)`, zurückgelegter Weg `s` in Abhängigkeit von der Zeit `t`.

muss die schnellere Gruppe, die es auf `5km//h` bringt, der langsameren Gruppe lassen, die gemütlich mit `3km//h` durch den Odenwald schlendert, damit beide Gruppen gleichzeitig am Ziel ankommen?

`->`Weg-Zeit-Diagramm im Atlas

zur Lösung

Ergebnis Der Vorsprung muß `72min` oder 1,2 Stunden betragen.

4.5 MacGyver

Freier Fall und Schallausbreitung
MacGyvers Schweizer Offiziersmesser fällt in eine dunkle Felsspalte. Er hört den
AufprallDie Fallstrecke und die vom Schall durchlaufene Strecke sind gleich lang. Schreiben Sie für jede Strecke die Beziehung `s(t)` hin.
Die Gesamtzeit ist bekannt!
nach `8s` (Schallgeschwindigkeit in Luft: `345 m//s`).

Wie tief ist die Spalte?

`->`Quadratische Gleichungen

zur Lösung

Ergebnis Die Tiefe der Felsspalte beträgt `257,8m`.

4.6 Luftdruck

Manche Verkehrsflugzeuge fliegen in `10km` Höhe.

Berechnen Sie den Luftdruck ausserhalb der Passagierkabine.
In welcher Höhe ist der Luftdruck nur noch
halb so grossDie Umkehrfunktion der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus: `ln(e^x) = x`.
wie auf dem Erdboden?

Rechnen Sie mit der
barometrischen Höhenformel Die barometrische Höhenformel beschreibt die exponentielle Abhnahme des Luftdrucks mit der Höhe über der Erdoberfläche. Sie ist eine Annäherung in der Modellvorstellung, dass die Lufthülle sich wie ein ideales Gas bei konstanter Temperatur verhält und die Fallbeschleunigung unabhängig von der Höhe ist.
:

`p(h) = p_0*e^(-h/(7800m))`

`p_0 = p(h=0m)=1013hPa`

`->`Logarithmen

zur Lösung

Ergebnis In `10km` Höhe beträgt der Luftdruck `281,1hPa`, die Höhe bei halbem Luftdruck ist ca. `5407m`.

4.7 Radioaktiver Zerfall

Bei einer
radioaktiven Probe Radioaktiver Zerfall ist eine spontane Veränderung von Atomen durch Kernzerfall.

Für die Stoffmenge `n(t)` gilt:

`n(t)=n_0*e^(- lambda*t)`

sind von ursprünglich `100mol` nach 15 Minuten noch `85mol` der Ausgangssubstanz vorhanden.

Berechnen Sie die
Zerfallskonstante Exponentialfunktion oder 'e'-Funktion ist die Funktion `f(x)=e^x`.
e ist die 'Eulersche Zahl', `e=2,718..`.
Die Ableitung der e-Funktion, also die Änderung des Funktionswertes mit dem Argument, ist proportional zum aktuellen Funktionswert.
Mit der e-Funktion werden deshalb Wachstums-, Zerfalls- und Dämpfungsvorgänge modelliert.
`lambda` und die
HalbwertszeitDie Halbwertszeit ist die Zeit, nach der die Hälfte der Anfangssubstanz `n_0=n(t=0)` zerfallen ist.
`t_(1//2)` der Substanz.

Zeigen Sie, dass `t_(1//2)=(ln2)//lambda` ist.

Welche Stoffmenge ist nach 30 Minuten zerfallen?

zur Lösung

Ergebnis Die Zerfallskonstante hat den Wert `0,01083(min)^(-1)`. Die Halbwertszeit beträgt `64min`, nach `30min` sind `27,74mol` der Ausgangssubstanz zerfallen.

4.8 Sinusschwingung

Eine Kugel hängt an einem Gummiband. Wenn sie ausgelenkt und losgelassen wird, schwingt sie um die Ruhelage. Die Auslenkung `s(t)` wird als Funktion der Zeit beschrieben durch:

`s(t)=s_0*sin(2* pi*f*t)`

(Wir vernachlässigen zunächst die Dämpfung.)
Rechnen Sie mit der Amplitude `s_0=10cm` und der Schwingungsfrequenz `f=2Hz`.

Welche
AuslenkungDen Taschenrechner auf `rad` einstellen, weil das Argument des Sinus als Winkel im Bogenmaß angegeben ist!
hat das Pendel zum Zeitpunkt `t=0,3s`?

`->`Kreisfunktionen im Atlas

zur Lösung

Ergebnis Nach `0,3s` befindet sich die Kugel in der Abwärtsbewegung, bei `s=-5,8cm`.

4.9 Gedämpfte Schwingung

Eine Kugel hängt an einem Gummiband. Wenn sie ausgelenkt und losgelassen wird, schwingt sie um die Ruhelage.

Nach `10s` ist die
AmplitudeDie Amplitude einer gedämpften Schwingung fällt expotentiell mit der Zeit: `s(t)=s_0*e^(-delta*t)`.
`delta` ist die Abklingkonstante.
der Schwingung auf die Hälfte des Anfangswertes zurückgegangen.

Berechnen Sie die Abklingkonstante `delta`.

`->`Schwingung mit Dämpfung

zur Lösung

Ergebnis Die Abklingkonstante hat den Wert `delta=0,069 s^(-1)`.

4.10 Riesenrad

Ein Riesenrad (Durchmesser `45m`) dreht sich in 5 Minuten einmal vollständig um seine Achse.

Wie lange dauert es vom tiefsten Punkt aus, bis sich eine Kabine auf `32m` Höhe befindet?

Welchen Winkel hat sie dann durchlaufen?

`->`Winkelmaße
`->`Kreisfunktionen im Atlas

zur Lösung

Ergebnis Es gibt zwei Lösungen: `115°` nach `96s` und `245°` nach `204s`.