KoordinatenIn einem Koordinatensystem werden Punkte und Bewegungen im Raum quantitativ beschrieben.
Wenn eine Bewegung längs einer Geraden verläuft, genügt zur Beschreibung meist eine einzige Koordinatenachse.
Punkte im Raum können durch Ortsvektoren charakterisiert werden. Die mathematische Darstellung eines Ortsvektors
ist eng mit den Koordinaten des zugehörigen Punktes verknüpft.
In der Formelsammlung sind verschiedene Koordinatensysteme dargestellt.
Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von links nach rechts längs einer Geraden.
Unten sind fünf Möglichkeiten gezeigt, dieselbe Bewegung zu beschreiben:
Bestimmen Sie jeweils die Geschwindigkeit `bb v` des Punkts.
Wo befindet sich der Punkt jeweils zum Zeitpunkt `t=4s`?
Schreiben Sie jeweils die allgemeine Beziehung für `x(t)`, und zeichnen Sie für jeden einzelnen
Fall ein `x(t)`-Diagramm.
zur LösungErgebnis
Allgemein ist in allen Fällen: `v=(Delta x)/(Delta t)=1 m/s` und `x(t)=x_0 + v*(t-t_0)`. Die einzelnen Fälle unterscheiden sich nur in der
Wahl von `x_0` und `t_0`: a) `x=4m`, b) `x=6m`, c) `x=2m`, d) `x=2m`, e) `x=0`
5.2 Geschwindigkeitsvektor
Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Sie haben eine `x`-Achse in
Bewegungsrichtung eingeführt und beobachten den Punkt zu den angegebenen Zeiten
bei den angegebenen Koordinaten.
Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit `bb v` des Punkts.
Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor, und zeichnen Sie ihn ein.
Was ändert sich, wenn Sie dieselbe Bewegung beschreiben wollen,
die `x`-Achse aber von rechts nach links verläuft?
zur LösungErgebnis
Der Betrag (Länge des Pfeils) der Geschwindigkeit ist: `|vec v|=1 m/s`. Der Geschwindigkeitsvektor `vec v` liegt auf der x-Achse
und zeigt in Richtung der Bewegung.
5.3 Sturm
Ein Flugzeug fliegt von Frankfurt nach München und zurück. Bei Windstille beträgt seine
Geschwindigkeit `600km//h`. Die Strecke zwischen Frankfurt und München ist `600km`
lang. Das Flugzeug ist also 2 Stunden unterwegs.
Wie lange dauert der Flug unter sonst gleichen Bedingungen, wenn ein Sturm mit
`100km//h` Windgeschwindigkeit aus südlicher Richtung weht?
Wie gross ist die Geschwindigkeit über Grund auf dem Hin- und Rückweg?
By Amargeddon6 - Own work, CC BY-SA 3.0, Link
zur LösungErgebnis
Hinflug: `500 (km)/h`, Rückflug: `700 (km)/h`, Flugzeit: `123min`.
5.4 Fahrplan
Auf einer zweigleisigen Strecke fahren zwei Züge mit jeweils konstanter Geschwindigkeit
aufeinander zu. Der eine Zug fährt um 12.05 Uhr mit `81km//h` durch den Bahnhof von Alsbach in Richtung Bensheim,
der andere Zug fährt um 12.08 Uhr mit `27km//h` durch den Bahnhof von Bensheim in Richtung Alsbach.
Die Schienenstrecke zwischen den Bahnhöfen in Bensheim und Alsbach ist `14,85km` lang.
Wann und wo
treffenDie Züge treffen sich, wenn sie sich
zum selben Zeitpunkt am selben Ort befinden.
Beschreiben Sie die Bewegung der beiden Züge mit derselben Koordinatenachse und
mit derselben Zeitskala.
sich die beiden Züge?
zur LösungErgebnis
Die Züge treffen sich um 12.14 Uhr in `2,7km` Entfernung von Bensheim.
5.5 Überholen
Sie fahren mit Ihrem PKW mit `130km//h` auf der Autobahn und möchten einen
LKW überholen, der mit `70km//h` fährt. Ihr PKW ist `4m`, der LKW `20m` lang.
Sie beginnen den
ÜberholvorgangWelche Strecke muss der PKW
in Bezug auf den LKW aufholen? Mit welcher Geschwindigkeit bewegt er sich
relativ zum LKW?
Berechnen Sie zuerst die Zeit, die für den Überholvorgang erforderlich ist.
um 13.54 Uhr.
Wann ist der Überholvorgang beendet?
Welche Strecke haben Sie dabei zurückgelegt?
Betrachten Sie den Vorgang einmal von der Strasse aus und einmal vom LKW aus.
zur LösungErgebnis
Der Überholvorgang dauert `1,44s`. Der PKW legt dabei auf der Strasse `52m` zurück, relativ zum LKW aber nur `24m`.
5.6 Bootsfahrt
Ein Boot überquert auf einer geraden Bahn einen `30m` breiten Kanal innerhalb
von `120s`. Parallel zur Uferlinie legt es dabei `60m` zurück.
Berechnen Sie die
GeschwindigkeitBerechnen Sie die Strecke, die
das Boot zurücklegt.
Innerhalb welcher Zeit durchfährt es diese Strecke?
des Boots, und zeichnen Sie den Geschwindigkeitsvektor ein.
zur LösungErgebnis
Der Betrag der Geschwindigkeit ist `0,559m/s`. Der Geschwindigkeitsvektor liegt auf der
Bahn des Bootes und zeigt in Richtung der Bewegung.
5.7 Strömung
Ein `20m` breiter Fluss strömt gleichmässig mit einer Geschwindigkeit von `2m//s`.
Ein Schwimmer, der in stehendem Wasser eine Geschwindigkeit von `1m//s` erreicht,
schwimmtDie Bewegung durch die Strömung und die Bewegung
des Schwimmers aus eigener Kraft relativ zum Wasser überlagern sich ungestört.
Wie lange dauert die Überquerung ohne Strömung?
Wie lange mit Strömung?
so durch den Fluss, dass seine Körperachse stets senkrecht zur Strömung
ausgerichtet ist.
Welche Strecke legt er auf dem Weg zum gegenüberliegenden Ufer zurück? Welche Zeit benötigt er dafür?
Wie muss er seine Körperachse orientieren, damit er an einem Punkt ankommt, der
seinem Ausgangspunkt genau gegenüber liegt?
zur LösungErgebnis
Der Schwimmer benötigt `20s` für die Überquerung und legt dabei `44,7m` zurück.
Senkrecht kann er den Fluss nur durchschwimmen, wenn seine Eigengeschwindigkeit größer als `2m/s` ist.
5.8 Weitsprung
Ein sehr guter Sprinter versucht sich im Weitsprung, indem er am Absprungbalken
einfach die Beine anzieht.
Welche
SprungweiteWie lange dauert der Sprung?
erreicht der 'Weitspringer'?
Nehmen Sie an, dass die Geschwindigkeit beim Absprung `12m//s` beträgt und der Sprinter
die Beine um `90cm` einfahren kann.
zur LösungErgebnis
Die Sprungweite beträgt `5,14m`.