SI-Basiseinheiten
Größe | SI-Einheit | Symbol |
---|---|---|
Länge | Meter | `m` |
Masse | Kilogramm | `kg` |
Zeit | Sekunde | `s` |
Elektrische Stromstärke | Ampere | `A` |
Temperatur | Kelvin | `K` |
Lichtstärke | Candela | `cd` |
Stoffmenge | Mol | `mol` |
Die Angabe einer physikalischen Größe enthält immer: Größe = Zahlenwert`*`Einheit, z. B. Strecke `s_1=100m` |
Physikalische Konstanten
Bezeichnung | Kurzzeichen | Wert |
---|---|---|
Fallbeschleunigung | `g` | `9,81m*s^-2` |
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum | `c` | `2,998*10^8 m*s^-1` |
Avogadro-Konstante | `N_A` | `6,022*10^23 mol^-1` |
Molvolumen idealer Gase (bei `273,15K` und `101,325kPa`) | `22,4 l*mol^-1` | |
Dichte von Wasser (bei `20°C`) | `0,998*10^3kg*m^-3` | |
Dichte von Luft (bei `273,15K` und `101,325kPa`) | `1,29kg*m^-3` | |
Gaskonstante, molare | `R` | `8,314 J*mol^-1*K^-1` |
Erdradius am Äquator | `6378km` | |
Masse der Erde | `5,98*10^24 kg` | |
Mittlerer Abstand Erde-Sonne | `1,496*10^8 km` | |
Atomare Masseneinheit | `u` | `1,66*10^-27 kg` |
Ruhemasse des Elektrons | `m_e` | `9,11*10^-31 kg` |
Ruhemasse des Protons | `m_p` | `1,67*10^-27 kg` |
Elementarladung | `e` | `1,6*10^-19 C` |
Die Zahlenwerte sind gerundet! Bei fehlendem Kurzzeichen gibt es kein allgemeingültiges Formelsymbol. |
Vielfache und Teile von Einheiten
Zehnerpotenz | Vorsatz | Kurzbezeichnung |
---|---|---|
`10^18` | Exa | `E` |
`10^15` | Peta | `P` |
`10^12` | Tera | `T` |
`10^9` | Giga | `G` |
`10^6` | Mega | `M` |
`10^3` | Kilo | `k` |
`10^2` | Hekto | `h` |
`10^1` | Deka | `da` |
`10^0` | `` | |
`10^-1` | Dezi | `d` |
`10^-2` | Centi | `c` |
`10^-3` | Milli | `m` |
`10^-6` | Mikro | `mu` |
`10^-9` | Nano | `n` |
`10^-12` | Pico | `p` |
`10^-15` | Femto | `f` |
`10^-18` | Atto | `a` |
Geometrie
Dreieck
Zum rechtwinkligen Dreieck s. auch Trigonometrie
Allgemein:
`alpha + beta + gamma=180°``A=1/2 * c * h = 1/2 * b*c*sin alpha`
`U=a+b+c`
Rechtwinkliges Dreieck:
`gamma=90°` und `alpha+beta=90°``A=1/2 * a * b`
`a^2+b^2=c^2`
Rechteck
Allgemein:
`A=a*b``U=2*a+2*b`
`d=sqrt(a^2+b^2)`
Quadrat: `a=b`
`A=a^2``U=4*a`
`d=a*sqrt(2)`
Kegel
`{:(V,=,1/3 * A * h),( ,= ,1/3*pi*r^2*h):}`
`{:(O,=,A+M),(,=,pi*r^2+pi*r*s):}`
`s=sqrt(r^2+h^2)`
Zylinder
`{:(V,=,A*h),(,=,pi*r^2*h):}`
`{:(O,=,M+2*A),(,=,2*pi*r*h+2*pi*r^2),(,=,2*pi*r*(h+r)):}`
Strahlensatz
Die korrespondierenden Seiten der Dreiecke stehen im selben Verhältnis zueinander, z. B.:
`a / b = c / d`
Trigonometrie
Winkelfunktionen
`sin alpha = sf"Gegenkathete" / sf"Hypotenuse" = a / c`
`cos alpha = sf"Ankathete" / sf"Hypotenuse" = b / c`
`tan alpha = sf"Gegenkathete" / sf"Ankathete" = a / b`
Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Katheten sind die Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Die Ankathete ist die Seite, die an den jeweils betrachteten Winkel grenzt.
Arkusfunktionen
Wenn Sie den Wert einer Winkelfunktion kennen, dann können Sie mit der Arkusfunktion den zugehörigen Winkel bestimmen, z. B.:`sin alpha = 0,5 => alpha = arcsin(0,5) = 30°`
Beim Taschenrechner heißen die Funktionstasten meist:
Winkelfunktion | zugehörige Arkusfunktion |
---|---|
`sin x` | `arcsin x` oder `sin^-1 x` |
`cos x` | `arccos x` oder `cos^-1 x` |
`tan x` | `arctan x` oder `tan^-1 x` |
Winkelmaße
Im Bogenmaß wird ein Winkel als Quotient aus der Bogenlänge eines Kreises und dem zugehörigen Radius definiert. Der Vollwinkel hat den Wert `2 pi`. Häufig wird die Einheit '`rad`' (Radian) hinzugefügt.
Umrechnung:
`alpha_text(rad) = pi / (180°) * alpha_text(Grad)`
`alpha_text(Grad) = (180°) / pi * alpha_text(rad)`
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Einige häufig benutzte Relationen sind:`cos x = sin(x+pi/2)` und `sin x = cos(x-pi/2)`
`sin^2 x + cos^2x = 1`
`tan x = (sin x)/(cos x) = 1/(cot x)`
`sin(alpha pm beta)=sin alpha*cos beta +- cos alpha sin beta`
`cos(alpha pm beta) = cos alpha * cos beta bar+ sin alpha * sin beta`
Algebra
Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
`a^m * a^n = a^(m+n)` | `a^m / a^n = a^(m-n)` | |
`a^n * b^n = (a*b)^(n)` | `a^n / b^n = (a/b)^n` | |
`(a^m)^n = a^(m * n) = (a^n)^m` | `a^(m/n) = root(n)(a^m)` | |
`a^1 = a` | `a^0 = 1` (für `a != 0`) | |
`a^(-n) = 1/(a^n)` | ||
`root(n)(a) * root(n)(b) = root(n)(a*b)` | `root(n)(a)/root(n)(b) = root(n)(a/b)` | |
`(root(n)(a))^m = root(n)(a^m)` | `root(m)(root(n)(a)) = root(m*n)(a) = root(n)(root(m)(a))` |
Rechnen mit Logarithmen
`log_a b` ist die Zahl, mit der man `a` (die 'Basis') potenzieren muß, um `b` zu erhalten:`b = a^x iff log_a b = x => b = a^(log_a b)`
`a:=10 => log_(10) b = lg b` und `a:=e => log_e b = ln b`
`log_a(u*v)=log_a u + log_a v` | `log_a (u/v) = log_a u - log_a v` | |
`log_a u^m = m*log_a u` | `log_a root(n)(u) = log_a u^(1/n) = 1/n * log_a u` | |
`log_a (1/v) = log_a 1 - log_a v = 0-log_a v=-log_a v` | ||
`b=a^(log_a b) => log_c b = log_a b * log_c b` | ||
`log_a b=(log_c b)/(log_c a)` | `ln r = 2,3026 * lg r` | |
`lg r = 0,4343*ln r` |
Quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung können Sie in die 'Normalform' umformen. Es gibt zwei (unter Umständen komplexe) Lösungen für `x`.
`a*x^2+b*x+c=0` `| -: a` | `x^2+p*x+q = 0` | |
`=> x^2+p*x+q = 0` | ||
mit `p=b/a` und `q=c/a` | `=> x_(1,2) = -p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q)` | |
`x_(1,2) = (-b +- sqrt(b^2-4*a*c)) /(2 * a)` |
Näherungen
Für 'kleine Werte von `x`' können Sie die folgenden Näherungen benutzen. Die Genauigkeit der Näherung ist berechenbar, s. Mathematikvorlesung!`(1 pm x)^n ~~ 1pm n * x` | `e^(pm x) ~~1 pm x` | |
`1/(1+x) ~~ 1-x` | `a^x ~~ 1+(ln a)*x` | |
`sqrt(1+x) ~~ 1+1/2 x` | `ln(1 pm x) ~~ pm x` | |
`1/sqrt(1+x) ~~ 1-1/2 x` | `sin x ~~ x` | |
`tan x ~~ x` | `cos x ~~ 1-1/2 * x^2` |
Vektoren
Vektoraddition
`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` | `bb b=((b_x),(b_y),(b_z))` | `bb a + bb b = ((a_x + b_x),(a_y+b_y),(a_z+b_z))` |
`-bb b=((-b_x),(-b_y),(-b_z))` | `bb a - bb b = ((a_x - b_x),(a_y-b_y),(a_z-b_z))` |
Betrag eines Vektors
`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` | `|bb a| =a=sqrt(a_x^2+a_y^2+a_z^2)` |
Die Multiplikation eines Vektors `bb a` mit einer positiven Zahl `lambda` führt zu einem Vektor mit derselben Richtung wie `bb a`, aber der Länge `lambda bb a`. Ist die Zahl `lambda` negativ, ist `lambda bba` dem Vektor `bb a` entgegengerichtet.
`lambda bb a = ((lambda a_x),(lambda a_y),(lambda a_z))` | `|lambda bb a|=|lambda|*|bb a|` |
Skalarprodukt
`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` | `bb b=((b_x),(b_y),(b_z))` |
`bb a * bb b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z =|bb a||bb b| cos alpha`
`bb a * bb b = bb b * bb a`
`bb a * bb b = 0 <=> bb a _|_ bb b` oder `bb a = 0` oder `bb b = 0`
`bb a * bb a = |bb a|^2 = a^2 = a_x^2 + a_y^2+a_z^2`
Kreuzprodukt
`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` | `bb b=((b_x),(b_y),(b_z))` |
`bb a xx bb b = ((a_y b_z-a_z b_y),(a_z b_x - a_x b_z),(a_x b_y - a_y b_x))`
`|bb a xx bb b| =|bb a|*|bb b|*sin alpha`
`bb a xx bb b = - bb b xx bb a`
`bb a xx bb b = 0 <=> bb a || bb b` oder `bb a=0` oder `bb b= 0`
Kreuzprodukt - 'Rechte-Hand-Regel'
Die Vektoren `bb a`, `bb b` und ihr Kreuzprodukt `bb a xx bb b` bilden ein Rechtssystem.Die Orientierung von `bb a xx bb b` relativ zu `bb a` und `bb b` kann man sich z. B. anhand der 'Rechte-Hand-Regel' merken:
Achtung Linkshänder: Diese Merkregel funktioniert nur mit der rechten Hand. Wenn Sie die linke Hand benutzen, bekommen Sie einen entgegengesetzt gerichteten Vektor!
Koordinatensysteme
Kartesische Koordinaten
Koordinaten, die vom Nullpunkt aus in Richtung der 'Pfeilspitze' der Achse liegen, sind positiv, in Gegenrichtung negativ.
Ein Punkt `P` im Raum wird durch die drei Koordinaten `x`, `y`, `z` bezeichnet. Sie geben die Lage der senkrechten Projektion des Punktes `P` auf die jeweilige Achse an.
Ebene Polarkoordinaten
`y = r * sin Phi`
`r=sqrt(x^2+y^2)`
`Phi = arctan(y/x)`
Kugelkoordinaten
`y = r*sin Theta * sin Phi`
`z=r*cos Theta`
`r=sqrt(x^2+y^2+z^2)`
`Phi=arctan(y/x)`
`Theta=arctan(sqrt(x^2+y^2)/z)`