Tabellen und Formeln

SI-Basiseinheiten

Größe SI-Einheit Symbol
Länge Meter `m`
Masse Kilogramm `kg`
Zeit Sekunde `s`
Elektrische Stromstärke Ampere `A`
Temperatur Kelvin `K`
Lichtstärke Candela `cd`
Stoffmenge Mol `mol`
Die Angabe einer physikalischen Größe enthält immer: Größe = Zahlenwert`*`Einheit, z. B. Strecke `s_1=100m`

Physikalische Konstanten

Bezeichnung Kurzzeichen Wert
Fallbeschleunigung `g` `9,81m*s^-2`
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum `c` `2,998*10^8 m*s^-1`
Avogadro-Konstante `N_A` `6,022*10^23 mol^-1`
Molvolumen idealer Gase (bei `273,15K` und `101,325kPa`) `22,4 l*mol^-1`
Dichte von Wasser (bei `20°C`) `0,998*10^3kg*m^-3`
Dichte von Luft (bei `273,15K` und `101,325kPa`) `1,29kg*m^-3`
Gaskonstante, molare `R` `8,314 J*mol^-1*K^-1`
Erdradius am Äquator `6378km`
Masse der Erde `5,98*10^24 kg`
Mittlerer Abstand Erde-Sonne `1,496*10^8 km`
Atomare Masseneinheit `u` `1,66*10^-27 kg`
Ruhemasse des Elektrons `m_e` `9,11*10^-31 kg`
Ruhemasse des Protons `m_p` `1,67*10^-27 kg`
Elementarladung `e` `1,6*10^-19 C`
Die Zahlenwerte sind gerundet!
Bei fehlendem Kurzzeichen gibt es kein allgemeingültiges Formelsymbol.

Vielfache und Teile von Einheiten

Zehnerpotenz Vorsatz Kurzbezeichnung
`10^18` Exa `E`
`10^15` Peta `P`
`10^12` Tera `T`
`10^9` Giga `G`
`10^6` Mega `M`
`10^3` Kilo `k`
`10^2` Hekto `h`
`10^1` Deka `da`
`10^0` ``
`10^-1` Dezi `d`
`10^-2` Centi `c`
`10^-3` Milli `m`
`10^-6` Mikro `mu`
`10^-9` Nano `n`
`10^-12` Pico `p`
`10^-15` Femto `f`
`10^-18` Atto `a`

Geometrie

Dreieck

allgemeines Dreieck
Von Thomas Steiner CC BY-SA 3.0, Link
Zum rechtwinkligen Dreieck s. auch Trigonometrie

Allgemein:

`alpha + beta + gamma=180°`
`A=1/2 * c * h = 1/2 * b*c*sin alpha`
`U=a+b+c`

Rechtwinkliges Dreieck:

`gamma=90°` und `alpha+beta=90°`
`A=1/2 * a * b`
`a^2+b^2=c^2`

Rechteck

allgemeines Rechteck
Von XZise - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, Link

Allgemein:

`A=a*b`
`U=2*a+2*b`
`d=sqrt(a^2+b^2)`

Quadrat: `a=b`

`A=a^2`
`U=4*a`
`d=a*sqrt(2)`

Kreis

Kreis
Von FerdiBf, Bigbossfarin, CC0, Link
`A=pi*r^2`

`U=2*pi*r`

Kegel

Kegel
Von Oldracoon - Eigenes Werk, Gemeinfrei, Link
Ein Kegel ist eigentlich eine Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche.

`{:(V,=,1/3 * A * h),( ,= ,1/3*pi*r^2*h):}`

`{:(O,=,A+M),(,=,pi*r^2+pi*r*s):}`

`s=sqrt(r^2+h^2)`

Zylinder

Zylinder
Von Ag2gaeh - Eigenes Werk, CC-BY-SA 4.0, Link
Ein Zylinder ist eine Säule mit kreisförmiger Grundfläche.

`{:(V,=,A*h),(,=,pi*r^2*h):}`

`{:(O,=,M+2*A),(,=,2*pi*r*h+2*pi*r^2),(,=,2*pi*r*(h+r)):}`

Kugel

Kugel
Von Geek3 - Eigenes Werk, CC BY 3.0, Link
`V=4/3*pi*R^3`

`O=4*pi*R^2`

Strahlensatz

Strahlensatz
Von Petrus3743 - Eigenes Werk, CC-BY-SA 4.0, Link
Wenn zwei Geraden ('Strahlen') durch einen Punkt verlaufen und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, dann entstehen zwei ähnliche Dreiecke.
Die korrespondierenden Seiten der Dreiecke stehen im selben Verhältnis zueinander, z. B.:

`a / b = c / d`

Trigonometrie

Winkelfunktionen

rechtwinkliges Dreieck
Zu Winkelfunktionen s. auch Funktionen
Im rechtwinkligen Dreieck sind die bekanntesten Winkelfunktionen für spitze Winkel als Verhältnis zweier Seiten definiert:

`sin alpha = sf"Gegenkathete" / sf"Hypotenuse" = a / c`

`cos alpha = sf"Ankathete" / sf"Hypotenuse" = b / c`

`tan alpha = sf"Gegenkathete" / sf"Ankathete" = a / b`

Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Katheten sind die Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Die Ankathete ist die Seite, die an den jeweils betrachteten Winkel grenzt.

Arkusfunktionen

Wenn Sie den Wert einer Winkelfunktion kennen, dann können Sie mit der Arkusfunktion den zugehörigen Winkel bestimmen, z. B.:

`sin alpha = 0,5 => alpha = arcsin(0,5) = 30°`

Beim Taschenrechner heißen die Funktionstasten meist:

Winkelfunktion zugehörige Arkusfunktion
`sin x` `arcsin x` oder `sin^-1 x`
`cos x` `arccos x` oder `cos^-1 x`
`tan x` `arctan x` oder `tan^-1 x`
Manche Taschenrechner haben für die Umkehrfunktionen allgemein eine 'INV'-Taste, z. B. ist `arcsin x` durch die beiden Tasten 'INV SIN' realisiert. Achtung: Die Arkusfunktionen sind mehrdeutig. Außerdem müssen Sie beachten, ob Ihr Taschenrechner das Resultat im Grad- oder Bogenmaß ausgibt!

Winkelmaße

Winkel im Bogenmaß als Kreissegment
Im Einheitskreis mit dem Radius `r = 1` (ohne Einheit) entspricht der Winkel im Bogenmaß der Länge des grünen Kreisbogens.
Im Gradmaß wird der Vollwinkel ('einmal ganz herum') in 360 gleiche Teile zerlegt, die Winkelgrade. Zum Beispiel hat ein 'rechter Winkel' dann 90°.
Im Bogenmaß wird ein Winkel als Quotient aus der Bogenlänge eines Kreises und dem zugehörigen Radius definiert. Der Vollwinkel hat den Wert `2 pi`. Häufig wird die Einheit '`rad`' (Radian) hinzugefügt.

Umrechnung:

`alpha_text(rad) = pi / (180°) * alpha_text(Grad)`

`alpha_text(Grad) = (180°) / pi * alpha_text(rad)`

Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

Einige häufig benutzte Relationen sind:

`cos x = sin(x+pi/2)` und `sin x = cos(x-pi/2)`

`sin^2 x + cos^2x = 1`

`tan x = (sin x)/(cos x) = 1/(cot x)`

`sin(alpha pm beta)=sin alpha*cos beta +- cos alpha sin beta`

`cos(alpha pm beta) = cos alpha * cos beta bar+ sin alpha * sin beta`

Algebra

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

`a^m * a^n = a^(m+n)` `a^m / a^n = a^(m-n)`
`a^n * b^n = (a*b)^(n)` `a^n / b^n = (a/b)^n`
`(a^m)^n = a^(m * n) = (a^n)^m` `a^(m/n) = root(n)(a^m)`
`a^1 = a` `a^0 = 1` (für `a != 0`)
`a^(-n) = 1/(a^n)`
`root(n)(a) * root(n)(b) = root(n)(a*b)` `root(n)(a)/root(n)(b) = root(n)(a/b)`
`(root(n)(a))^m = root(n)(a^m)` `root(m)(root(n)(a)) = root(m*n)(a) = root(n)(root(m)(a))`

Rechnen mit Logarithmen

`log_a b` ist die Zahl, mit der man `a` (die 'Basis') potenzieren muß, um `b` zu erhalten:

`b = a^x iff log_a b = x => b = a^(log_a b)`

`a:=10 => log_(10) b = lg b` und `a:=e => log_e b = ln b`

`log_a(u*v)=log_a u + log_a v` `log_a (u/v) = log_a u - log_a v`
`log_a u^m = m*log_a u` `log_a root(n)(u) = log_a u^(1/n) = 1/n * log_a u`
`log_a (1/v) = log_a 1 - log_a v = 0-log_a v=-log_a v`
`b=a^(log_a b) => log_c b = log_a b * log_c b`
`log_a b=(log_c b)/(log_c a)` `ln r = 2,3026 * lg r`
`lg r = 0,4343*ln r`

Quadratische Gleichungen

Die allgemeine quadratische Gleichung können Sie in die 'Normalform' umformen. Es gibt zwei (unter Umständen komplexe) Lösungen für `x`.

`a*x^2+b*x+c=0` `| -: a` `x^2+p*x+q = 0`
`=> x^2+p*x+q = 0`
mit `p=b/a` und `q=c/a` `=> x_(1,2) = -p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q)`
`x_(1,2) = (-b +- sqrt(b^2-4*a*c)) /(2 * a)`

Näherungen

Für 'kleine Werte von `x`' können Sie die folgenden Näherungen benutzen. Die Genauigkeit der Näherung ist berechenbar, s. Mathematikvorlesung!
`(1 pm x)^n ~~ 1pm n * x` `e^(pm x) ~~1 pm x`
`1/(1+x) ~~ 1-x` `a^x ~~ 1+(ln a)*x`
`sqrt(1+x) ~~ 1+1/2 x` `ln(1 pm x) ~~ pm x`
`1/sqrt(1+x) ~~ 1-1/2 x` `sin x ~~ x`
`tan x ~~ x` `cos x ~~ 1-1/2 * x^2`

Vektoren

Vektoraddition

`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` `bb b=((b_x),(b_y),(b_z))` `bb a + bb b = ((a_x + b_x),(a_y+b_y),(a_z+b_z))`
`-bb b=((-b_x),(-b_y),(-b_z))` `bb a - bb b = ((a_x - b_x),(a_y-b_y),(a_z-b_z))`
`bb a + bb b = bb b + bb a`
Summe zweier Vektoren
`bb a - bb b = bb a + (- bb b)`
Differenz zweier Vektoren

Betrag eines Vektors

`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` `|bb a| =a=sqrt(a_x^2+a_y^2+a_z^2)`

Die Multiplikation eines Vektors `bb a` mit einer positiven Zahl `lambda` führt zu einem Vektor mit derselben Richtung wie `bb a`, aber der Länge `lambda bb a`. Ist die Zahl `lambda` negativ, ist `lambda bba` dem Vektor `bb a` entgegengerichtet.

`lambda bb a = ((lambda a_x),(lambda a_y),(lambda a_z))` `|lambda bb a|=|lambda|*|bb a|`

Skalarprodukt

Skalarprodukt
`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` `bb b=((b_x),(b_y),(b_z))`

`bb a * bb b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z =|bb a||bb b| cos alpha`

`bb a * bb b = bb b * bb a`

`bb a * bb b = 0 <=> bb a _|_ bb b` oder `bb a = 0` oder `bb b = 0`

`bb a * bb a = |bb a|^2 = a^2 = a_x^2 + a_y^2+a_z^2`

Kreuzprodukt

Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt `bb a xx bb b` steht senkrecht auf `bb a` und senkrecht auf `bb b`, also senkrecht auf der von `bb a` und `bb b` aufgespannten Ebene.
`bb a=((a_x),(a_y),(a_z))` `bb b=((b_x),(b_y),(b_z))`

`bb a xx bb b = ((a_y b_z-a_z b_y),(a_z b_x - a_x b_z),(a_x b_y - a_y b_x))`

`|bb a xx bb b| =|bb a|*|bb b|*sin alpha`

`bb a xx bb b = - bb b xx bb a`

`bb a xx bb b = 0 <=> bb a || bb b` oder `bb a=0` oder `bb b= 0`

Kreuzprodukt - 'Rechte-Hand-Regel'

Die Vektoren `bb a`, `bb b` und ihr Kreuzprodukt `bb a xx bb b` bilden ein Rechtssystem.
Die Orientierung von `bb a xx bb b` relativ zu `bb a` und `bb b` kann man sich z. B. anhand der 'Rechte-Hand-Regel' merken:
Rechte-Hand-Regel
Wenn der Daumen in Richtung von `bb a` und der Zeigefinger in Richtung von `bb b` deutet, hat der senkrecht dazu stehende Mittelfinger der rechten Hand die Richtung von `bb a xx bb b`.

Achtung Linkshänder: Diese Merkregel funktioniert nur mit der rechten Hand. Wenn Sie die linke Hand benutzen, bekommen Sie einen entgegengesetzt gerichteten Vektor!

Koordinatensysteme

Kartesische Koordinaten

Kartesische Koordinaten
Das kartesische Koordinatensystem besteht aus drei zueinander senkrecht stehenden Koordinatenachsen `x`, `y` und `z`. Sie schneiden sich in einem Punkt, dem Ursprung oder Nullpunkt des Systems.
Koordinaten, die vom Nullpunkt aus in Richtung der 'Pfeilspitze' der Achse liegen, sind positiv, in Gegenrichtung negativ.
Ein Punkt `P` im Raum wird durch die drei Koordinaten `x`, `y`, `z` bezeichnet. Sie geben die Lage der senkrechten Projektion des Punktes `P` auf die jeweilige Achse an.

Ebene Polarkoordinaten

Ebene Polarkoordinaten
`x = r * cos Phi`

`y = r * sin Phi`

`r=sqrt(x^2+y^2)`

`Phi = arctan(y/x)`

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten
`x = r*sin Theta * cos Phi`

`y = r*sin Theta * sin Phi`

`z=r*cos Theta`

`r=sqrt(x^2+y^2+z^2)`

`Phi=arctan(y/x)`

`Theta=arctan(sqrt(x^2+y^2)/z)`