Ein PKW fährt `100km` weit mit `80km//h` und weitere `100km` mit `60km//h`.
Berechnen Sie die
mittlere GeschwindigkeitDie Geschwindigkeit
ist die momentane Änderung des Weges mit der Zeit: `v(t) = (ds(t))/(dt)`. Die mittlere Geschwindigkeit
ist die zurückgelegte Strecke dividiert durch die dazu erforderliche Zeit:
`overline v = (Delta s)/(Delta t)=(s_1 + s_2 + ...)/(t_1 + t_2 + ...)`
des PKW
auf der Gesamtstrecke.Wie lang ist er insgesamt unterwegs?Wie schnell muss ein zweiter PKW fahren, der gemeinsam mit dem ersten
PKW startet, die Gesamtstrecke aber mit konstanter Geschwindigkeit
zurücklegt, damit er gleichzeitig mit dem ersten PKW ankommt?
TippZerlegen Sie die Fahrt in
zwei Phasen mit jeweils konstanter Geschwindigkeit.
Die mittlere Geschwindigkeit ist nicht `70km//h`!
Das Auto fährt zwar gleich weit mit `80km//h` und mit `60km//h`, aber nicht gleich lange.
Mit `80km//h` schafft es die ersten `100km` in geringerer Zeit als die nächsten
`100km`, der Fahrer kann die höhere Geschwindigkeit also nicht so lange
ausnutzen, wie er die geringere ertragen muss.
zur LösungErgebnis
Die mittlere Geschwindigkeit, das ist auch die Geschwindigkeit des zweiten PKW, beträgt `68,56 (km)/h`.
Die gesamt Fahrt dauert etwa `175min`.
4.2 Autofahrt 2
Ein PKW fährt eine Stunde lang mit `80km//h` und dann eine Stunde lang mit `60km//h`.
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für die Gesamtstrecke.
zur LösungErgebnis
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt `70(km)/h`.
4.3 Verkehrsunfall
Haben Sie eine Vorstellung davon, was passiert, wenn Sie mit Ihrem Auto im
Stadtverkehr gegen einen Brückenpfeiler fahren?
Rechnen Sie aus, aus welcher Höhe ein Auto
fallenDies ist ein 'freier Fall'.
Berechnen Sie zunächst die Fallzeit.
muss, um mit
`50km//h` auf den Erdboden aufzuprallen.
zur LösungErgebnis
Der Crash entspricht einem freien Fall aus `9,83m`.
4.4 Odenwaldclub
Zwei Gruppen des Odenwaldclubs wollen von Alsbach aus zum Melibokus wandern
(das sind etwa `9km` Wegstrecke).
Welchen
ZeitvorsprungWelche Zeit benötigt
jede Gruppe? Zeichnen Sie ein Weg-Zeit-Diagramm.
Das Weg-Zeit-Diagramm ist der Graph der Funktion `s(t)`, zurückgelegter Weg `s` in
Abhängigkeit von der Zeit `t`.
muss die schnellere Gruppe,
die es auf `5km//h` bringt, der langsameren Gruppe lassen,
die gemütlich mit `3km//h` durch den Odenwald schlendert,
damit beide Gruppen gleichzeitig am Ziel ankommen?
zur LösungErgebnis
Der Vorsprung muß `72min` oder 1,2 Stunden betragen.
4.5 MacGyver
MacGyvers Schweizer Offiziersmesser fällt in eine dunkle Felsspalte.
Er hört den
AufprallDie Fallstrecke und die vom
Schall durchlaufene Strecke sind gleich lang. Schreiben Sie für jede Strecke die
Beziehung `s(t)` hin.
Die Gesamtzeit ist bekannt!
zur LösungErgebnis
Die Tiefe der Felsspalte beträgt `257,8m`.
4.6 Luftdruck
Manche Verkehrsflugzeuge fliegen in `10km` Höhe.
Berechnen Sie den Luftdruck ausserhalb der Passagierkabine.
In welcher Höhe ist der Luftdruck nur noch
halb so grossDie Umkehrfunktion
der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus: `ln(e^x) = x`.
wie
auf dem Erdboden?
Rechnen Sie mit der
barometrischen Höhenformel
Die barometrische Höhenformel beschreibt die
exponentielle Abhnahme des Luftdrucks mit der Höhe über der Erdoberfläche.
Sie ist eine Annäherung in der Modellvorstellung, dass die Lufthülle sich wie
ein ideales Gas bei konstanter Temperatur verhält und die Fallbeschleunigung
unabhängig von der Höhe ist.
zur LösungErgebnis
In `10km` Höhe beträgt der Luftdruck `281,1hPa`, die Höhe bei halbem Luftdruck ist ca. `5407m`.
4.7 Radioaktiver Zerfall
Bei einer
radioaktiven Probe
Radioaktiver Zerfall ist eine spontane Veränderung von Atomen durch Kernzerfall.
Für die Stoffmenge `n(t)` gilt:
`n(t)=n_0*e^(- lambda*t)`
sind von ursprünglich `100mol` nach 15 Minuten
noch `85mol` der Ausgangssubstanz vorhanden.
Berechnen Sie die
ZerfallskonstanteExponentialfunktion oder 'e'-Funktion ist die
Funktion `f(x)=e^x`.
e ist die 'Eulersche Zahl', `e=2,718..`.
Die Ableitung der e-Funktion, also die Änderung des Funktionswertes mit dem
Argument, ist proportional zum aktuellen Funktionswert.
Mit der e-Funktion werden deshalb Wachstums-, Zerfalls- und
Dämpfungsvorgänge modelliert.
`lambda` und die
HalbwertszeitDie Halbwertszeit ist die Zeit,
nach der die Hälfte der Anfangssubstanz `n_0=n(t=0)` zerfallen ist.
`t_(1//2)`
der Substanz.
Zeigen Sie, dass `t_(1//2)=(ln2)//lambda` ist.
Welche Stoffmenge ist nach 30 Minuten zerfallen?
zur LösungErgebnis
Die Zerfallskonstante hat den Wert `0,01083(min)^(-1)`. Die Halbwertszeit beträgt `64min`, nach `30min` sind `27,74mol`
der Ausgangssubstanz zerfallen.
4.8 Sinusschwingung
Eine Kugel hängt an einem Gummiband. Wenn sie ausgelenkt und losgelassen wird, schwingt sie um
die Ruhelage. Die Auslenkung `s(t)` wird als Funktion der Zeit beschrieben durch:
`s(t)=s_0*sin(2* pi*f*t)`
(Wir vernachlässigen zunächst die Dämpfung.)
Rechnen Sie mit der Amplitude `s_0=10cm` und der Schwingungsfrequenz `f=2Hz`.
Welche
AuslenkungDen Taschenrechner auf `rad` einstellen,
weil das Argument des Sinus als Winkel im Bogenmaß angegeben ist!