Tabellen und Formeln

Rechteck

Allgemein:

$A=a \cdot b$

$U=2 \cdot a + 2 \cdot b$

$d=\sqrt{a^2 + b^2}$

Quadrat: a = b

$A=a^2$

$U=4 \cdot a$

$d=a \cdot \sqrt{2}$

Schaubild von XZise - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, Link

Kreis

$A=\pi \cdot r^2$

$U=2 \cdot \pi \cdot r$

Schaubild von FerdiBf, Bigbossfarin, CC0, Link

Kegel

Ein Kegel ist eigentlich eine Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche.

$V=\frac{1}{3} \cdot A \cdot h =\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

$O=A+M=\pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$

$s=\sqrt{r^2+h^2}$

Schaubild von Oldracoon - Eigenes Werk, Gemeinfrei, Link

Zylinder

Ein Zylinder ist eine Säule mit kreisförmiger Grundfläche.

$V = A \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot h$

$O=M+2 \cdot A = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h+2 \cdot \pi \cdot r^2=2 \cdot \pi \cdot r \cdot (h+r)$

Schaubild von Ag2gaeh - Eigenes Werk, CC-BY-SA 4.0, Link

Kugel

$V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$

$O=4 \cdot \pi \cdot R^2$

Schaubild von Geek3 - Eigenes Werk, CC BY 3.0, Link

Strahlensatz

Wenn zwei Geraden ('Strahlen') durch einen Punkt verlaufen und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, dann entstehen zwei ähnliche Dreiecke. Die korrespondierenden Seiten der Dreiecke stehen im selben Verhältnis zueinander, z. B.:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Schaubild von Petrus3743 - Eigenes Werk, CC-BY-SA 4.0, Link

Winkelmaße

Im Gradmaß wird der Vollwinkel ('einmal ganz herum') in 360 gleiche Teile zerlegt, die Winkelgrade. Zum Beispiel hat ein 'rechter Winkel' dann 90°.

Im Bogenmaß wird ein Winkel als Quotient aus der Bogenlänge eines Kreises und dem zugehörigen Radius definiert. Der Vollwinkel hat den Wert $2\pi$. Häufig wird die Einheit 'rad' (Radian) hinzugefügt.

Umrechnung:

$\alpha_{rad} = \frac{\pi}{180°} \cdot \alpha_{Grad}$

$\alpha_{Grad} = \frac{180°}{\pi} \cdot \alpha_{rad}$

Vektoraddition

$\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$        $\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$        $\textbf{a}+\textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x\\ a_y  + b_y\\ a_z + b_z \end{pmatrix}$

$-\textbf{b} = \begin{pmatrix} -b_x \\ -b_y \\ -b_z\end{pmatrix}$        $\textbf{a}-\textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x - b_x\\ a_y  - b_y\\ a_z - b_z \end{pmatrix}$

$\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}$

$\textbf{a}-\textbf{b}=\textbf{a}+(-\textbf{b})$

Betrag eines Vektors

$\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$         $|\textbf{a}| = \sqrt{a^2_x + a^2_y + a^2_z}$

Die Multiplikation eines Vektors $\textbf{a}$ mit einer positiven Zahl $\lambda$ führt zu einem Vektor mit derselben Richtung wie $\textbf{a}$, aber der Länge $\lambda \textbf{a}$. Ist die Zahl $\lambda$ negativ, ist $\lambda \textbf{a}$ dem Vektor $\textbf{a}$ entgegengerichtet.

$\lambda \textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$         $|\lambda \textbf{a}| = |\lambda| \cdot |\textbf{a}|$

Skalarprodukt

$\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$        $\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$  

$\textbf{a} \cdot \textbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}| \cdot \cos{\alpha}$

$\textbf{a} \cdot \textbf{b} = \textbf{b} \cdot \textbf{a}$

$\textbf{a} \cdot \textbf{b} = 0 \Leftrightarrow \textbf{a} \bot \textbf{b}$ oder $\textbf{a}=0$ oder $\textbf{b}=0$

$\textbf{a} \cdot \textbf{a} = |\textbf{a}|^2 = a^2 = a^2_x + a^2_y + a^2_z$

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt $\textbf{a} \times \textbf{b}$ steht senkrecht auf $\textbf{a}$ und senkrecht auf $\textbf{b}$, also senkrecht auf der von $\textbf{a}$ und $\textbf{b}$ aufgespannten Ebene.

$\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$        $\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$        $\textbf{a} \times \textbf{b} = \begin{pmatrix} a_yb_z - a_zb_y\\ a_zb_x - a_xb_z\\ a_xb_y - a_yb_x \end{pmatrix}$

$|\textbf{a} \times \textbf{b}|= |\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}| \cdot \sin{\alpha}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} = -\textbf{b} \times \textbf{a}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} = 0 \Leftrightarrow \textbf{a} || \textbf{b}$ oder $\textbf{a}=0$ oder $\textbf{b}=0$

Kreuzprodukt - 'Rechte-Hand-Regel'

Die Vektoren $\textbf{a},\textbf{b}$ und ihr Kreuzprodukt $\textbf{a} \times \textbf{b}$ bilden ein Rechtssystem. Die Orientierung von $\textbf{a} \times \textbf{b}$ relativ zu $\textbf{a}$ und $\textbf{b}$ kann man sich z. B. anhand der 'Rechte-Hand-Regel' merken:

Wenn der Daumen in Richtung von $\textbf{a}$ und der Zeigefinger in Richtung von  $\textbf{b}$ deutet, hat der senkrecht dazu stehende Mittelfinger der rechten Hand die Richtung von  $\textbf{a} \times \textbf{b}$.

Achtung Linkshänder: Diese Merkregel funktioniert nur mit der rechten Hand. Wenn Sie die linke Hand benutzen, bekommen Sie einen entgegengesetzt gerichteten Vektor!

Kartesisches Koordinaten

Das kartesische Koordinatensystem besteht aus drei zueinander senkrecht stehenden Koordinatenachsen x, y und z. Sie schneiden sich in einem Punkt, dem Ursprung oder Nullpunkt des Systems. Koordinaten, die vom Nullpunkt aus in Richtung der 'Pfeilspitze' der Achse liegen, sind positiv, in Gegenrichtung negativ.

Ein Punkt P im Raum wird durch die drei Koordinaten x, y, z bezeichnet. Sie geben die Lage der senkrechten Projektion des Punktes P auf die jeweilige Achse an.

Ebene Polarkoordinaten

$x=r \cdot \cos{\Phi}$

$y=r \cdot \sin{\Phi}$

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\Phi = \arctan{(\frac{y}{x})}$

Kugelkoordinaten

$x=r \cdot \sin{\Theta} \cdot \cos{\Phi}$

$y=r \cdot \sin{\Theta} \cdot \sin{\Phi}$

$z=r \cdot \cos{\Theta}$

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\Phi = \arctan{(\frac{y}{x})}$

$\Theta = \arctan{(\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z})}$