2. Auftrieb

2.1 Eisbären

Eine Eisscholle mit einer Fläche von 15m2 und einer Dicke von 40cm  schwimmt im Wasser.

  • Wie hoch ragt die Eisscholle aus dem Wasser?
  • Wieviele Eisbären (ein Polarbär hat eine Masse von ca. 800kg) können auf der Eischolle stehen, ohne nasse Tatzen zu bekommen?

Infos:

Dichte von Eis: 0,9g/cm3 und Dichte von Seewasser: 1,02g/cm3

Die mittlere Dichte eines Körpers ist der Quotient aus seiner Masse und seinem Volumen:
ρ = m/V, die SI-EInheit ist [ρ ]= kg/m3.

Auftrieb im Atlas

Die Eisscholle taucht 35,5cm tief ein. Die maximale Zusatzlast beträgt 719kg. Schon bei einem ausgewachsenen Bären sinkt die Eisscholle!

Die Eisscholle schwimmt, wenn: $m_{Eis} = m_{Fl, verdr.}$

$ \Rightarrow  m_{Eis} = \rho_{Eis} \cdot V_{Eis} = \rho_{Fl} \cdot V_{Fl.verdr.}$

$ \Rightarrow  V_{Fl,verdr.} = \frac{\rho_{Eis} \cdot V_{Eis}}{\rho_{Fl}} = \frac{\rho_{Eis} \cdot A \cdot d}{\rho_{Fl}} = A \cdot x$

$ \Rightarrow  x = \frac{\rho_{Eis}}{\rho_{Fl}} \cdot d =  \frac{0,91}{1,02} \cdot 40cm = 35,3cm$

Eine zusätzliche Last darf die Eisscholle um weitere 4,7m ins Wasser drücken, dann taucht sie vollständig ein und sinkt gerade eben nicht. Die Masse der Last ist also gerade gleich der Masse der dann zusätzlich verdrängten Wassermenge:

$m_{Last} = m_{Fl, zus.verdr.} = \rho_{Fl} \cdot V_{Fl, zus. verdr.} = \rho_{Fl} \cdot A \cdot (d-x)$

$m_{Last} = \rho_{Fl} \cdot A \cdot (d-x) = 1020 \frac{kg}{m^3} \cdot 15 m^2 \cdot 4,7 \cdot 10^{-2}m = 719 kg$

Schon ein einziger ausgewachsener Bär sinkt mit dieser Scholle!

2.2 Fahrwassertonne

Eine Fahrwassertonne hat leer eine Masse von mT = 100kg. Sie soll h = 70cm tief ins Wasser eintauchen und wird dazu teilweise mit Sand gefüllt. Die Tonne hat die Form eines Doppelkegels mit insgesamt 1,6m Höhe und einen Durchmesser von D = 90cm. Rechnen Sie für Wasser mit der Dichte 1g/cm3.

  • Welche Masse mS muss die Sandfüllung haben?

Strahlensatz

Sie müssen 13,6kg Sand einfüllen.

Der Strahlensatz liefert:

$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$

$H = \frac{H_{ges}}{2}$ und $R = \frac{D}{2}$ können Sie aus gegebenen Größen berechnen.

Damit ergibt sich das Volumen der verdrängten Wassermenge:

$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = 0,11 m^3$

Die Masse des verdrängten Wassers ist also:

$m = \rho \cdot V = 1 \frac{g}{cm3} \cdot 3 \cdot 10^{-3} \frac{kg \cdot cm^3}{g\cdot 10^{-6}m^3} \cdot 0,11m^3 = 113,6 kg$

Die Fahrwassertonne schwimmt, wenn ihre Gesamtmasse gleich der Masse des verdrängten Wassers ist. Sie muß also 113,6kg wiegen, damit sie 70cm tief eintaucht. Ihre Leermasse beträgt aber laut Aufgabentext nur 100kg. Die Differenz gleichen Sie durch Sand aus:

$m_S = m - m_T = 113,6 kg - 100 kg = 13,6 kg$

2.3 Sendung mit der Maus

  • In der Sendung mit der Maus wurde gezeigt, dass ein Mensch abhebt, wenn man genügend viele mit Helium gefüllte Ballons an ihm befestigt. Wie viele?

Infos:

Die Hülle eines Heliumballons hat mit Befestigungsschnur eine Masse von 10g. Jeden Ballon kann man mit 20l Helium bei einer Dichte von 0,15g/l füllen. Die Dichte von Luft beträgt 1,2kg/m3. Nehmen Sie an, dass der Testpilot (Auftrieb des Testpiloten nicht vergessen) eine Masse von 75kg hat, seine Dichte soll 1g/cm3 betragen.

Mindestens 6810 Ballons sind erforderlich.

Gleichgewichtsbedingung:

$m_M + N \cdot \rho_{He} \cdot V_B + N \cdot m_B = N \cdot \rho_L \cdot V_B + \rho_L \cdot _M$

Masse Mensch + Masse Helium + Masse Ballonhüllen = Masse verdrängte Luft

Nach Anzahl N der Ballons auflösen:

$N = \frac{\rho_L \cdot V_M - m_M}{m_B + V_B \cdot (\rho_{He} - \rho_L)} =\frac{1,2 kg \cdot 0,075 m^3 - 75 kg \cdot m^3}{m^3 \cdot 0,01 kg + 0,02m^3 \cdot (0,15 - 1,2)kg} = 6810 $

Mindestens 6810 Ballons sind also erforderlich.