3. Ohmsches Gesetz
3.1 Parallelschaltung
Ein Widerstand mit 5kΩ und ein Widerstand mit 10kΩ werden parallel geschaltet.
An beiden liegt eine Spannung von 10V an.
- Welcher Gesamtstrom fließt?
Es fließt ein Gesamtstrom von 3mA.
Da die beiden Widerstände parallel geschaltet sind, ergibt sich der Gesamtwiderstand zu:
$$\frac{1}{5k\Omega} + \frac{1}{10k\Omega} = \frac{1}{R_{ges}} \quad \Rightarrow \qquad R_{ges} = 3,33 k\Omega$$
Durch diesen Ersatzwiderstand fließt nach dem Ohmschen Gesetz:
$$I = \frac{10V}{3,33 \cdot 10^3 \Omega} = 3,0 \cdot 10^{-3}A = 3,0mA$$
Es fließt ein Gesamtstrom von 3mA.
3.2 Reihenschaltung
Drei Widerstände mit je 1kΩ, 5kΩ und 10kΩ werden in Reihe geschaltet.
- Welche Spannung fällt an jedem der Widerstände ab, wenn an allen dreien zusammen eine Spannung von 8V anliegt?
Info:
Der Spannungsabfall über einen Widerstand ist die Spannung, die man zwischen den Enden eines Widerstandes messen kann, wenn er von einem Strom durchflossen wird.
Die Spannungen an den Widerständen betragen jeweils 0,5V, 2,5V und 5,0V.
Die Reihenschaltung der Widerstände ergibt den Gesamtwiderstand:
$$R_{ges} = 1 k\Omega + 5 k\Omega + 16 k\Omega = 16 \cdot 10^3 \Omega$$
Durch diesen Widerstand fließt der Strom:
$$I = \frac{8V}{16 \cdot 10^3 \Omega} = 5 \cdot 10^{-4}A = 0,5 mA$$
Damit fallen an den Einzelwiderständen jeweils ab:
$$U_1 = 1 \cdot 10^3 \cdot 5 \cdot 10^{-4}A = 0,5 V$$
$$U_2 = 5 \cdot 10^3 \cdot 5 \cdot 10^{-4}A = 2,5 V$$
$$U_3 = 10 \cdot 10^3 \cdot 5 \cdot 10^{-4}A = 5,0 V$$
3.3 Netzwerk 1
- Berechnen Sie den Gesamtwiderstand des skizzierten Netzwerks.
Info:
Der Gesamtwiderstand oder Ersatzwiderstand eines Netzwerkes ist der Widerstand, den Sie einer Schachtel zuweisen würden, in der sich das Netzwerk befindet: Sie messen den Strom, der insgesamt fließt, und die Spannung zwischen den Enden des Netzwerkes, und behandeln das Netzwerk wie einen einzigen Widerstand. Sie können den Gesamtwiderstand berechnen, indem Sie das Netzwerk in Gruppen von parallelen und in Reihe geschalteten Widerständen zerlegen.
Der Gesamtwiderstand des Netzwerks beträgt 0,9kΩ.
Reihenschaltung der 2kΩ-, 3kΩ- und 4kΩ-Widerstände ergibt:
$$R_{ges,reihe} = 2k\Omega + 3 k\Omega + 4 k\Omega = 9 k\Omega$$
Parallelschaltung mit dem 1kΩ-Widerstand ergibt dann:
$$\frac{1}{1 k\Omega} + \frac{1}{9 k\Omega} = \frac{1}{R_{ges}} \qquad \Rightarrow \qquad R_{ges} = 0,9 k\Omega$$
Der Gesamtwiderstand des Netzwerks beträgt 0,9kΩ.
3.4 Netzwerk 2
- Berechnen Sie den Gesamtwiderstand des skizzierten Netzwerks.
Info:
Zeichnen Sie die Schaltung so um, dass alle Widerstände 'senkrecht' ausgerichtet sind! Welche Widerstände sind parallel, welche in Reihe?
Der Gesamtwiderstand des Netzwerks beträgt 0,878kΩ.
Diese beiden Netzwerke sind äquivalent!
Der 2kΩ- und der 3kΩ-Widerstand liegen in Reihe, parallel dazu der 4kΩ-Widerstand, in Reihe dazu der 5kΩ-Widerstand und parallel dazu der 1kΩ-Widerstand. Also:
$$R_{1,ges} = 2k\Omega + 3 k\Omega = 5k\Omega$$
$$\frac{1}{4k\Omega} + \frac{1}{5k\Omega} = \frac{1}{R_{2,ges}} \qquad \Rightarrow \qquad R_{2,ges} = 2,22k\Omega$$
$$5k\Omega + 2,22 k\Omega = 7,22 k\Omega = R_{3,ges}$$
$$\frac{1}{1k\Omega} + \frac{1}{7,22k\Omega} = \frac{1}{R_{ges}} \qquad \Rightarrow \qquad R_{ges} = 0,878k\Omega$$
3.5 Netzwerk 3
- Berechnen Sie den Gesamtwiderstand des skizzierten Netzwerks.
Der Gesamtwiderstand des Netzwerks beträgt 1,47kΩ.
Diese beiden Netzwerke sind äquivalent.
Die Widerstände mit 1kΩ und 2kΩ sowie die mit 4kΩ und 5kΩ liegen jeweils parallel, diese beiden Gruppen liegen in Reihe, und der Widerstand mit 3kΩ liegt dazu parallel.
$$\frac{1}{1k\Omega} + \frac{1}{2k\Omega} = \frac{1}{R_{1,ges}} \quad \Rightarrow \qquad R_{1,ges} = 0,66 k\Omega$$
$$\frac{1}{4k\Omega} + \frac{1}{5k\Omega} = \frac{1}{R_{2,ges}} \quad \Rightarrow \qquad R_{2,ges} = 2,22 k\Omega$$
$$0,66k\Omega + 2,22k\Omega = 2,88 k\Omega =R_{3,ges}$$
$$\frac{1}{3k\Omega} + \frac{1}{2,88k\Omega} = \frac{1}{R_{ges}} \quad \Rightarrow \qquad R_{ges} = 1,47 k\Omega$$
3.6 Kombination
Sie möchten einen Widerstand von 1kΩ ± 0,1% realisieren, haben aber nur einen Widerstand von 1,013kΩ. Sie kommen auf die Idee, diesen Widerstand mit einem zweiten Widerstand Rx so zu kombinieren*, dass sich der gewünschte Gesamtwiderstand ergibt.
- Welchen Wert darf Rx dafür maximal, welchen Wert darf er minimal haben?
Info:
Müssen Sie einen Widerstand parallel oder in Reihe schalten? Welche Maximal- und Minimalwerte darf der Gesamtwiderstand annehmen?
Sie müssen den Widerstand parallel schalten. Er muss zwischen 72,3kΩ und 84,5kΩ liegen.
Sie müssen einen Widerstand parallel schalten. Angegeben ist eine Genauigkeit von ±0,1%, das heißt:
$$R_{ges,max} = 1 k\Omega + 1 k\Omega \cdot 0,001 = 1001 \Omega; \qquad R_{ges,min} = 1 k\Omega - 1 k\Omega \cdot 0,001 = 999 \Omega$$
Damit ergeben sich für Maximal- und Minimalwert:
$$\frac{1}{R_{x,max}} + \frac{1}{1013\Omega} = \frac{1}{1001\Omega} \quad \Rightarrow \qquad R_{x,max} = \frac{1013\Omega \cdot 1001\Omega}{1013\Omega-1001\Omega} = 84501,1\Omega$$
$$\frac{1}{R_{x,min}} + \frac{1}{1013\Omega} = \frac{1}{999\Omega} \quad \Rightarrow \qquad R_{x,min} = \frac{1013\Omega \cdot 999\Omega}{1013\Omega-999\Omega} = 72284,8\Omega$$