5. Kinematik
5.1 Koordinaten
Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von links nach rechts längs einer Geraden. Hier sind fünf Möglichkeiten gezeigt, dieselbe Bewegung zu beschreiben:
- Bestimmen Sie jeweils die Geschwindigkeit vdes Punktes.
- Wo befindet sich der Punkt jeweils zum Zeitpunkt t = 4s?
- Schreiben Sie jeweils die allgemeine Beziehung für x(t), und zeichnen Sie für jeden einzelnen Fall ein x(t)-Diagramm.
Infos:
In einem Koordinatensystem werden Punkte und Bewegungen im Raum quantitativ beschrieben. Wenn eine Bewegung längs einer Geraden verläuft, genügt zur Beschreibung meist eine einzige Koordinatenachse. Punkte im Raum können durch Ortsvektoren charakterisiert werden. Die mathematische Darstellung eines Ortsvektors ist eng mit den Koordinaten des zugehörigen Punktes verknüpft. In der Formelsammlung sind verschiedene Koordinatensysteme dargestellt.
Allgemein ist in allen Fällen: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = 1ms$ und $x(t) = x_0 v \cdot (t-t_0)$. Die einzelnen Fälle unterscheiden sich nur in der Wahl von $x_0$ und $t_0$: a)$x=4m$, b) $x=6m$ c) $x=2m$, d) $ x = 2m $, e) $ x=0$
Allgemein ist in allen Fällen: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1m}{1s} = 1\frac{m}{s}$ und $x(t) = x_0 + v \cdot (t-t_0)$. Die einzelnen Fälle unterscheiden sich nur in der Wahl von $x_0$ und $t_0$:
a) $x(t) = v \cdot t \Rightarrow x(t=4s) = 1 \frac {m}{s} \cdot 4s = 4m$
b) $x(t) =2m + v \cdot t \Rightarrow x(t=4s) = 2m + 1 \frac {m}{s} \cdot 4s = 6m$
c) $x(t) =-2m + v \cdot t \Rightarrow x(t=4s) = -2m + 1 \frac {m}{s} \cdot 4s = 2m$
d) $x(t) = v \cdot (t-2s) \Rightarrow x(t=4s) = 1 \frac {m}{s} \cdot (4s-2s) = 2m$
e) $x(t) = -2m + v \cdot (t-2s) \Rightarrow x(t=4s) = -2m + 1 \frac {m}{s} \cdot (4s-2s) = 2m$
5.2 Geschwindigkeitsvektor
Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Sie haben eine x-Achse in Bewegungsrichtung eingeführt und beobachten den Punkt zu den angegebenen Zeiten bei den angegebenen Koordinaten.
- Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit v des Punkts.
- Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor und zeichnen Sie ihn ein.
- Was ändert sich, wenn Sie dieselbe Bewegung beschreiben wollen, die x-Achse aber von rechts nach links verläuft?
Der Betrag (Länge des Pfeils) der Geschwindigkeit ist: |v| $= 1 \frac{m}{s} $. Der Geschwindigkeitsvektor v liegt auf der x-Achse und zeigt in Richtung der Bewegung.
Der Betrag (Länge des Pfeils) der Geschwindigkeit ist: v $= 1 \frac{m}{s} $. Der Geschwindigkeitsvektor v liegt auf der x-Achse und zeigt in Richtung der Bewegung. Seine Länge symbolisiert seinen Betrag, $1 \frac{m}{s}$.
Wenn die x-Achse in der Gegenrichtung verläuft, ändert sich an Betrag (Länge) und Richtung des Geschwindigkeitsvektors nichts. Lediglich seine Darstellung in kartesischen Koordinaten ändert sich von (1m/s,0,0) in (−1m/s,0,0).
5.3 Sturm
Ein Flugzeug fliegt von Frankfurt nach München und zurück. Bei Windstille beträgt seine Geschwindigkeit 600km/h. Die Strecke zwischen Frankfurt und München ist 600km lang. Das Flugzeug ist also 2 Stunden unterwegs. (Schaubild: Amargeddon6 - Own work, CC BY-SA 3.0, Link)
- Wie lange dauert der Flug unter sonst gleichen Bedingungen, wenn ein Sturm mit 100km/h Windgeschwindigkeit aus südlicher Richtung weht?
- Wie gross ist die Geschwindigkeit über Grund auf dem Hin- und Rückweg?
Hinflug: $500 \frac{km}{h}$, Rückflug: $700 \frac{km}{h}$. Das Flugzeug ist für Hin- und Rückflug zusammen zwei Stunden unterwegs (123min).
Die Geschwindigkeit über Grund ist jeweils die Vektorsumme aus der Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zur Luft und der Windgeschwindigkeit.
Hinflug: $\left| v_{eff} \right| = \left| v_F + v_w \right| = \left| v_F \right| - \left| v_w \right| = 600 \frac{km}{h} - 100 \frac{km}{h} = 500 \frac{km}{h}$
Rückflug: $\left| v_{eff} \right| = \left| v_F + v_w \right| = \left| v_F \right| + \left| v_w \right| = 600 \frac{km}{h} + 100 \frac{km}{h} = 700 \frac{km}{h}$
Flugzeit: $t = \frac{600 km}{500 \frac{km}{h}} +\frac{600 km}{700 \frac{km}{h}} = 1,2 h + 0,857 h = 2,057 h = 123 min $
5.4 Fahrplan
Auf einer zweigleisigen Strecke fahren zwei Züge mit jeweils konstanter Geschwindigkeit aufeinander zu. Der eine Zug fährt um 12.05 Uhr mit $81 \frac{km}{h}$ durch den Bahnhof von Alsbach in Richtung Bensheim, der andere Zug fährt um 12.08 Uhr mit $27 \frac{km}{h}$ durch den Bahnhof von Bensheim in Richtung Alsbach. Die Schienenstrecke zwischen den Bahnhöfen in Bensheim und Alsbach ist $14,85km$ lang.
- Wann und wo treffen sich die beiden Züge?
Info:
Die Züge treffen sich, wenn sie sich zum selben Zeitpunkt am selben Ort befinden. Beschreiben Sie die Bewegung der beiden Züge mit derselben Koordinatenachse und mit derselben Zeitskala.
Die Züge treffen sich um 12.14 Uhr in $2,7km$ Entfernung von Bensheim.
Um 12.08 Uhr ist der schnellere Zug seit 3 Minuten von Alsbach aus unterwegs und hat 4,05km mit 81km/h zurückgelegt. Die Züge sind jetzt nur noch $(14,85-4,05)km = 10,8km$ voneinander entfernt. Ihre Relativgeschwindigkeit beträgt $(81+27) \frac{km}{h}=108 \frac{km}{h}$. Sie treffen sich also nach:
$$\Delta t = \frac{\Delta x}{v_{relativ}} = \frac{10,8km}{108 \frac{km}{h}} = 0,1 h = 6 min$$
Der langsamere Zug ist zu diesem Zeitpunkt, um 12.14 Uhr, seit 6 Minuten von Bensheim aus mit 27km/h unterwegs und ist 2,7km von Bensheim entfernt.
5.5 Überholen
Sie fahren mit Ihrem PKW mit $130 \frac{km}{h}$ auf der Autobahn und möchten einen LKW überholen, der mit $70 \frac{km}{h}$ fährt. Ihr PKW ist 4m, der LKW 20m lang. Sie beginnen den Überholvorgang um 13.54 Uhr.
- Wann ist der Überholvorgang beendet?
- Welche Strecke haben Sie dabei zurückgelegt?
- Betrachten Sie den Vorgang einmal von der Straße aus und einmal vom LKW aus.
Infos:
Welche Strecke muss der PKW in Bezug auf den LKW aufholen? Mit welcher Geschwindigkeit bewegt er sich relativ zum LKW? Berechnen Sie zuerst die Zeit, die für den Überholvorgang erforderlich ist.
Der Überholvorgang dauert 1,44s. Der PKW legt dabei auf der Straße 52m zurück, relativ zum LKW aber nur 24m.
Relativ zum LKW fährt der PKW mit einer Geschwindigkeit von $ 60 \frac{km}{h}$ und muss einen Weg von 24m zurücklegen. Überholzeit und Überholweg in bezug auf die Straße sind dann:
$$\Delta t = \frac{\Delta x}{v_{PKW}-v_{LKW}} = \frac{24m}{60 \frac{km}{h}} = 1,44s $$
$$\Delta x_{absolut} = v_{PKW} \cdot \Delta t = 130 \frac{km}{h} \cdot 1,44 s = \frac{130m}{3,6s} \cdot 1,44 s = 52 m$$
5.6 Bootsfahrt
Ein Boot überquert auf einer geraden Bahn einen 30m breiten Kanal innerhalb von 120s. Parallel zur Uferlinie legt es dabei 60m zurück.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Boots, und zeichnen Sie den Geschwindigkeitsvektor ein.
Info:
Berechnen Sie die Strecke, die das Boot zurücklegt. Innerhalb welcher Zeit durchfährt es diese Strecke?
Der Betrag der Geschwindigkeit ist $0,559 \frac{m}{s}$. Der Geschwindigkeitsvektor liegt auf der Bahn des Bootes und zeigt in Richtung der Bewegung.
Parallel zur x-Achse legt das Boot 60m innerhalb von 120s zurück, parallel zur y-Achse 30m innerhalb von 120s.
Die Gesamtgeschwindigkeit setzt sich aus den Geschwindigkeitsvektoren der Bewegungen parallel zu den Koordinatenachsen additiv zusammen. Der Vektor der Gesamtgeschwindigkeit ist parallel zur Bahn des Boots gerichtet.
$$\left| \textbf{v}_x\right| = \frac{60m}{120s} = 0,5 \frac ms; \qquad \left| \textbf{v}_y\right| = \frac{30m}{120s} = 0,25 \frac ms; \qquad \textbf{v}_{gesam} = \textbf{v}_x + \textbf{v}_y$$
$$\left| \textbf{v}_{gesamt}\right| =\sqrt {\left| \textbf{v}_x\right|^2 + \left| \textbf{v}_y\right|^2} = \sqrt {\left( 0,5 \frac ms \right)^2 + \left( 0,25 \frac ms \right)^2} = \sqrt {\frac {5}{16}} \frac ms = 0,559 \frac ms$$
5.7 Strömung
Ein 20m breiter Fluss strömt gleichmässig mit einer Geschwindigkeit von 2m/s. Ein Schwimmer, der in stehendem Wasser eine Geschwindigkeit von 1m/s erreicht, schwimmt so durch den Fluss, dass seine Körperachse stets senkrecht zur Strömung ausgerichtet ist.
- Welche Strecke legt er auf dem Weg zum gegenüberliegenden Ufer zurück?
- Welche Zeit benötigt er dafür?
- Wie muss er seine Körperachse orientieren, damit er an einem Punkt ankommt, der seinem Ausgangspunkt genau gegenüber liegt?
Infos:
Die Bewegung durch die Strömung und die Bewegung des Schwimmers aus eigener Kraft relativ zum Wasser überlagern sich ungestört. Wie lange dauert die Überquerung ohne Strömung? Wie lange mit Strömung?
Der Schwimmer benötigt 20s für die Überquerung und legt dabei 44,7m zurück. Senkrecht kann er den Fluss nur durchschwimmen, wenn seine Eigengeschwindigkeit größer als $2 \frac ms$ ist.
Die Gesamtgeschwindigkeit setzt sich aus den Geschwindigkeitsvektoren der Bewegung parallel zu den Koordinatenachsen additiv zusammen. Der Vektor der Gesamtgeschwindigkeit ist parallel zur Bahn des Schwimmers gerichtet.
$$\left| \textbf v_x \right| = 2 \frac ms; \qquad \left| \textbf v_y \right| = 1 \frac ms; \qquad \textbf v_{ges} = \textbf v_x + \textbf v_y$$
$$ \Rightarrow \left| \textbf v_{ges} \right| = \sqrt{\left| \textbf v_x \right|^2 + \left| \textbf v_y \right|^2 } = \sqrt{5} \frac ms = 2,24 \frac ms$$
Die erforderliche Zeit für die Überquerung und die zurückgelegte Strecke sind:
$$ \Delta t = \frac {\Delta y}{ \left| \textbf v_y \right|} = \frac {20m}{1 \frac ms} = 20s$$
$$ s = \left| \textbf v_{ges} \right| \cdot \Delta t = \sqrt{5} \frac ms \cdot 20s = 44,7 m $$
Mit seiner Eigengeschwindigkeit von $1 \frac ms$ kann der Schwimmer den Fluss unter keinen Umständen senkrecht zur Strömung überqueren! Dazu muss er mindestens die Abdrift von $2 \frac ms$ kompensieren können, also z. B. mit $3 \frac ms$ Eigengeschwindigkeit schwimmen. Die Vektorsumme der Einzelgeschwindigkeiten muss dann parallel zur y-Achse verlaufen.
$$\left| \textbf v_x \right| = 2 \frac ms; \qquad \left| \textbf v_S \right| = 3 \frac ms; \qquad \textbf v_{ges} = \textbf v_x + \textbf v_y$$
$$ \left| \textbf v_{S} \right|^2 = \left| \textbf v_x \right|^2 + \left| \textbf v_{ges} \right|^2 $$
$$ \Rightarrow \left| \textbf v_{ges} \right| = \sqrt{\left| \textbf v_S \right|^2 - \left| \textbf v_x \right|^2 } = 2,24 \frac ms$$
$$ \sin \alpha = \frac {\left| \textbf v_x \right|}{\left| \textbf v_S \right| } = \frac 23 \Rightarrow \alpha = \arcsin \left( \frac 23 \right) = 41.8°$$
5.8 Weitsprung
Ein sehr guter Sprinter versucht sich im Weitsprung, indem er am Absprungbalken einfach die Beine anzieht.
- Welche Sprungweite erreicht der 'Weitspringer'?
Nehmen Sie an, dass die Geschwindigkeit beim Absprung $12 \frac ms$ beträgt und der Sprinter die Beine um $ 90cm$ einfahren kann. Überlegen Sie zuerst, wie lange der Sprung dauert.
Die Sprungweite beträgt $5,14m$.
Senkrecht nach unten durchfällt der Sprinter eine Strecke von $90cm$ im freien Fall. Dazu benötigt er die Zeit:
$$ \Delta t = \sqrt {\frac {2h}{g}} = \sqrt {\frac {2 \cdot 0,9m}{9,81 \frac{m}{s^2}}} = 0,428s$$
Innerhalb dieser Zeitspanne bewegt er sich horizontal mit $12 \frac ms$ und legt dabei die Sprungweite zurück:
$$ \Delta x = \left| \textbf v_x \right| \cdot \Delta t = \left| \textbf v_x \right| \cdot \sqrt {\frac {2h}{g}} = 12 \frac ms \cdot \sqrt {\frac {2 \cdot 0,9m}{9,81 \frac{m}{s^2}}} = 5,14m $$