4. Funktionen
4.1 Autofahrt 1
Ein PKW fährt $100km$ weit mit $80 \frac{km}{h}$ und weitere $100km$ mit $60 \frac{km}{h}$.
- Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des PKW auf der Gesamtstrecke.
- Wie lang ist er insgesamt unterwegs?
- Wie schnell muss ein zweiter PKW fahren, der gemeinsam mit dem ersten PKW startet, die Gesamtstrecke aber mit konstanter Geschwindigkeit zurücklegt, damit er gleichzeitig mit dem ersten PKW ankommt?
Infos:
Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges mit der Zeit: $v(t) = \frac{ds}{dt}$.
Die mittlere Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke dividiert durch die dazu erforderliche Zeit:
$$\bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_1 + s_2 + ...}{t_1 + t_2 + ...}$$
Zerlegen Sie die Fahrt in zwei Phasen mit jeweils konstanter Geschwindigkeit. Die mittlere Geschwindigkeit ist nicht $70 \frac{km}{h}$! Das Auto fährt zwar gleich weit mit $80 \frac{km}{h}$ und mit $60 \frac{km}{h}$, aber nicht gleich lange. Mit $80 \frac{km}{h}$ schafft es die ersten 100km in geringerer Zeit als die nächsten 100km, der Fahrer kann die höhere Geschwindigkeit also nicht so lange ausnutzen, wie er die geringere ertragen muss.
Die mittlere Geschwindigkeit, das ist auch die Geschwindigkeit des zweiten PKW, beträgt $68,56 \frac{km}{h}$. Die gesamt Fahrt dauert etwa $175min$.
$$t_{80} = \frac{100km}{80km/h} = 1,25h$$
$$t_{60} = \frac{100km}{60km/h} = 1,667h$$
$$t_{gesamt} = t_{80} + t_{60} = 2,917h$$
$$s_{gesamt} =200km$$
$$\bar v = \frac{200km}{2,917h} = 68,56km/h$$
Die mittlere Geschwindigkeit, das ist auch die Geschwindigkeit des zweiten PKW, beträgt $68,56 \frac{km}{h}$ (und nicht $70 \frac{km}{h}$!!). Die gesamte Fahrt dauert 2,917 Stunden, das sind etwa 175 Minuten.
4.2 Autofahrt 2
Ein PKW fährt eine Stunde lang mit $80 \frac{km}{h}$ und dann eine Stunde lang mit $60 \frac{km}{h}$.
- Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für die Gesamtstrecke.
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt $70 \frac{km}{h}$.
$$\Delta s_{gesamt} = 80km + 60 km = 140 km$$
$$\Delta t_{gesamt} = 1 h+ 1 h = 2h$$
$$\bar v = \frac{\Delta s_{gesamt} }{\Delta t_{gesamt} } = \frac{140km}{2h} = 70 km/h$$
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt $70 \frac{km}{h}$.
Im s(t)-Diagramm finden Sie die beiden Phasen der Fahrt als Geradenstücke mit unterschiedlichen Steigungen entsprechend den unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Die Gerade gehört zu einem Vorgang, bei dem ein Auto sich ständig mit der berechneten mittleren Geschwindigkeit bewegt.
4.3 Verkehrsunfall
Haben Sie eine Vorstellung davon, was passiert, wenn Sie mit Ihrem Auto im Stadtverkehr gegen einen Brückenpfeiler fahren?
- Rechnen Sie aus, aus welcher Höhe ein Auto fallen muss, um mit $50 \frac{km}{h}$ auf den Erdboden aufzuprallen.
Info:
Dies ist ein 'freier Fall'. Berechnen Sie zunächst die Fallzeit.
Der Crash entspricht einem freien Fall aus $9,83m$.
Aus der angegebenen Fallgeschwindigkeit ergibt sich die Fallzeit, daraus die Fallstrecke:
$$v = g \cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \frac{v}{g}$$
$$s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( \frac{v}{g} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{v^2}{g^2} = \frac{v^2}{2g}$$
$$s = \frac{v^2}{2g} =\left( \frac{50 \cdot 1000m}{3600s}\right)^2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 9,81\frac{m}{s^2}} = 9,83m$$
4.4 Odenwaldklub
Zwei Gruppen des Odenwaldklubs wollen von Alsbach aus zum Melibokus wandern (das sind etwa $9km$ Wegstrecke).
- Welchen Zeitvorsprung muss die schnellere Gruppe, die es auf $5 \frac{km}{h}$ bringt, der langsameren Gruppe lassen, die gemütlich mit 3km/h durch den Odenwald schlendert, damit beide Gruppen gleichzeitig am Ziel ankommen?
Der Vorsprung muss 72 Minuten oder 1,2 Stunden betragen.
Welche Zeit benötigt jede Gruppe für sich für die Wanderung? Der Zeitunterschied ist der Vorsprung, den die langsamere Gruppe benötigt. Das sind 1,2 Stunden oder 72 Minuten:
$$v_{mittel} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \qquad \Rightarrow \qquad \Delta t = \frac{\Delta s}{v_{mittel}}$$
$$ \Delta t_1 = \frac{9km}{5\frac{km}{h}} = 1,8h$$
$$ \Delta t_2 = \frac{9km}{3\frac{km}{h}} = 3,0h$$
4.5 MacGyver
MacGyvers Schweizer Offiziersmesser fällt in eine dunkle Felsspalte. Er hört den Aufprall nach 8s (Schallgeschwindigkeit in Luft: $345 \frac ms$).
- Wie tief ist die Spalte?
Die Tiefe der Felsspalte beträgt 257,8m.
$$8s = t_{gesamt} = t_{Fall} + t_{schall} \qquad \Rightarrow \qquad t_{Schall} = t_{gesamt} - t_{Fall}$$
$$ s_{Fall} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( t_{Fall} \right)^2 \qquad s_{Schall} = c_{Schall} \cdot t_{Schall}$$
$$ s_{Schall} = s_{Fall}$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( t_{Fall} \right)^2 = c_{Schall} \cdot t_{Schall} $$
$$ \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( t_{Fall} \right)^2 - c_{Schall} \cdot t_{Schall} = 0$$
$$ \Rightarrow t_{1,2,Fall} = \frac{-c_{Schall} \pm \sqrt{\left( c_{Schall} \right)^2 + 2 \cdot g \cdot c_{Schall} \cdot t_{gesamt}}}{g}$$
$$ t_{1,Fall} = 7,2522 s \qquad t_{2,Fall} = -77,59s$$
Die Fallzeit beträgt 7,2522s. Die Tiefe der Spalte berechnen Sie aus:
$$s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( t_{Fall} \right)^2$$
$$s = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \left(7,2522s \right)^2 = 257,8 m \approx 260m$$
Die Tiefe der Felsspalte beträgt 257,8m.
4.6 Luftdruck
Manche Verkehrsflugzeuge fliegen in 10km Höhe.
- Berechnen Sie den Luftdruck außerhalb der Passagierkabine.
- In welcher Höhe ist der Luftdruck nur nochhalb so groß wie auf dem Erdboden?
Infos:
Rechnen Sie mit der barometrischen Höhenformel:
$$p(h) = p_0 \cdot e^{-\frac{h}{7800m}}$$
$$p_0 = p(h=0m) = 1013hPa$$
Die barometrische Höhenformel beschreibt die exponentielle Abhnahme des Luftdrucks mit der Höhe über der Erdoberfläche. Sie ist eine Annäherung in der Modellvorstellung, dass die Lufthülle sich wie ein ideales Gas bei konstanter Temperatur verhält und die Fallbeschleunigung unabhängig von der Höhe ist.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus: $\ln \left( e^x \right) = x$.
In 10km Höhe beträgt der Luftdruck 281,1hPa, die Höhe bei halbem Luftdruck ist ca. 5407m.
Luftdruck in 10km Höhe:
$$p(h) = p_0 \cdot e^{- \frac{h}{7800m}}$$
$$p(1000m) = 1013hPa \cdot e^{- \frac{1000m}{7800m}} = 281,1hPa$$
Höhe bei halbem Luftdruck:
$$\frac{p_0}{2} = p_0 \cdot e^{- \frac{h}{7800m}} \qquad \Rightarrow \qquad ln \left( \frac{1}{2} \right) = - \frac{h}{7800m}$$
$$h = \frac{-7800m}{ln \left( \frac{1}{2} \right) } \approx 5406,5m$$
4.7 Radioaktiver Zerfall
Bei einer radioaktiven Probe sind von ursprünglich 100mol nach 15 Minuten noch 85mol der Ausgangssubstanz vorhanden.
- Berechnen Sie die Zerfallskonstante λ und die Halbwertszeit t1/2 der Substanz.
- Zeigen Sie, dass t1/2 = (ln2) / λ ist.
- Welche Stoffmenge ist nach 30 Minuten zerfallen?
Infos:
Radioaktiver Zerfall ist eine spontane Veränderung von Atomen durch Kernzerfall. Für die Stoffmenge n(t) gilt:
$$n(t) = n_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t}$$
Exponentialfunktion oder 'e'-Funktion ist die Funktion $f(x) = e^x$. e ist die 'Eulersche Zahl', e = 2,718... Die Ableitung der e-Funktion, also die Änderung des Funktionswertes mit dem Argument, ist proportional zum aktuellen Funktionswert. Mit der e-Funktion werden deshalb Wachstums-, Zerfalls- und Dämpfungsvorgänge modelliert.
Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der die Hälfte der Anfangssubstanz n0 = n(t=0) zerfallen ist.
Die Zerfallskonstante hat den Wert 0,01083(min)−1. Die Halbwertszeit beträgt 64 Minuten, nach 30 Minuten sind 27,74mol der Ausgangssubstanz zerfallen.
Zerfallskonstante:
$$n(t) = n_0 \cdot e^{- \lambda t} \Rightarrow \lambda = - \frac {\ln \left( {\frac {n(t)}{n_0}} \right) } {t} $$
$$ \lambda = - \frac {\ln \left( {\frac {85mol}{100mol}} \right)} {15min} = 0,01083min^{-1}$$
Halbwertszeit:
$$ n(t_{1/2}) = n_0 \cdot e^{- \lambda t_{1/2}} \qquad \text{mit} \qquad n(t_{1/2}) = \frac {n_0}{2} $$
$$ \Rightarrow \frac {n_0}{2} = n_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t_{1/2}} $$
$$ \Rightarrow t_{1/2} = \frac{ \ln{\frac 12}}{ - \lambda} = \frac{ \ln{2}}{ \lambda} $$
$$ t_{1/2} = \frac {\ln 2}{0,01083min^{-1}} = 64 min$$
Nach 30 Minuten sind zerfallen:
$$ n(t) = n_0 \cdot e^{- \lambda t} $$
$$ n(30min) = 100mol \cdot e^{- 0,01083min^{-1} \cdot 30min} = 72,26mol $$
$$ n_{zerfallen}(t) = n_0 - n(t)$$
$$ n_{zerfallen}(30min) = 100mol - 72,26mol = 27,74mol$$
4.8 Sinusschwingung
Eine Kugel hängt an einem Gummiband. Wenn sie ausgelenkt und losgelassen wird, schwingt sie um die Ruhelage. Die Auslenkung s(t) wird als Funktion der Zeit beschrieben durch:
$$s(t) = s_0 \cdot \sin (2 \cdot \pi \cdot f \cdot t)$$
Wir vernachlässigen zunächst die Dämpfung. Rechnen Sie mit der Amplitude s0 = 10cm und der Schwingungsfrequenz f = 2Hz.
- Welche Auslenkung hat das Pendel zum Zeitpunkt t = 0,3s?
Info:
Den Taschenrechner auf rad einstellen, weil das Argument des Sinus als Winkel im Bogenmaß angegeben ist!
Nach 0,3s befindet sich die Kugel in der Abwärtsbewegung, bei s = −5,8cm.
$s(t) = s_0 \cdot \sin (2 \cdot \pi \cdot f \cdot t)$
Setzen Sie t = 0,3s in die Formel ein (Hz = 1/s). Der Winkel in der Sinusfunktion, das Argument des Sinus, ist im Bogenmaß angegeben. Stellen Sie Ihren Taschenrechner auf rad ein!
$s(0,3s) = 0,1m \cdot \sin (2 \cdot \pi \cdot 2s^{-1} \cdot 0,3s)$
$s(0,3s) = -0,0588m$
Für t = 0,3sbefindet sich die Kugel in der Abwärtsbewegung bei s = −5,8cm.
4.9 Gedämpfte Schwingung
Eine Kugel hängt an einem Gummiband. Wenn sie ausgelenkt und losgelassen wird, schwingt sie um die Ruhelage. Nach 10s ist die Amplitude der Schwingung auf die Hälfte des Anfangswertes zurückgegangen.
- Berechnen Sie die Abklingkonstante δ.
Info:
Die Amplitude einer gedämpften Schwingung fällt expotentiell mit der Zeit:
$s(t) = s_0 \cdot e^{- \delta \cdot t}$
δ ist die Abklingkonstante.
Die Abklingkonstante hat den Wert δ = 0,69s−1.
Die Amplitude einer gedämpften Schwingung hängt von der Zeit ab:
$$A(t) = s_0 \cdot e^{- \delta \cdot t}$$
Für t = 10s ist die Amplitude auf die Hälfte des Anfangswerts abgefallen:
$$A(10s) = s_0 \cdot e^{- \delta \cdot 10s} = \frac{s_0}{2} \qquad \Rightarrow \qquad -\delta \cdot 10s = ln \left( \frac{1}{2} \right)$$
$$ \delta = \frac{ln \left( \frac{1}{2} \right)}{10s} = 0,069s^{-1}$$
4.10 Riesenrad
Ein Riesenrad (Durchmesser 45m) dreht sich in 5 Minuten einmal vollständig um seine Achse.
- Wie lange dauert es vom tiefsten Punkt aus, bis sich eine Kabine auf 32m Höhe befindet?
- Welchen Winkel hat sie dann durchlaufen?
Es gibt zwei Lösungen: 115° nach 96s und 245° nach 204s.
$$H = h + R \Rightarrow h = 9,5m$$
$$\sin \Phi = \frac{h}{R} \Rightarrow \Phi = \arcsin \left( \frac{h}{R}\right) = \arcsin \left( \frac{9,5m}{22,5m}\right) = 25,0° $$
Vom tiefsten Punkt des Riesenrads aus gerechnet, kommen 90° hinzu:
$$\phi = 90° + \Phi = 115°$$.
$$ t = \frac{115°}{360°} \cdot T = \frac{115°}{360°} \cdot 5min =\frac{115°}{360°} \cdot 300s = 96s$$
Die zweite Lösung ist $\phi = 245°$ mit $t=204s$.